電子不佔地方。除此之外，您基本上是正確的。實際上，由於自旋統計定理，如果不是出於其他原因，$ \ psi（r_1，r_2）$必須以$ r_1 = r_2 $消失。 更新。提醒我注意，這種推理不太正確；請參閱下面的評論。儘管如此，我還是希望至少有一個向下的尖端，就像在原子核上發現的向上的尖端一樣，只是相反。

但是，這很難想像。我們不習慣想像多維表面。而且，如果我們嘗試一次專注於一個電子，那麼我們將返回單電子近似值，而精確的多粒子$ \ psi $會丟失給我們。

順便說一句，無限排斥的論點不起作用。畢竟，\\ psi $不會在原子核附近消失；那不是暗示無限的吸引力嗎？不，不會。您會在整個空間中進行積分，並得出一些能量數字，這肯定是有限的。

鑑於兩個電子具有反對稱自旋，您的朋友是對的。

這種現象稱為費米堆。

有必要將兩個電子的波函數視為空間和自旋部分$ \ psi = \ psi_ {space} \ sigma_ {spin} $的乘積。由於電子是自旋半粒子（費米子），因此總波函數必須不對稱才能交換坐標。問題的答案取決於電子是處於單重態還是三重態自旋狀態。

在單重態（“自旋配對”）中，波函數的空間部分是對稱且自旋不對稱的； $$ \ psi_S = \ psi_ {space}（sym）\ sigma_ {spin}（asym ）在具有“平行”自旋的三重態中反之亦然。

電子可以組合成4個可能的自旋態。將自旋標記為$ \ alpha，\ beta $，組合為$ \ alpha \ alpha，\ beta \ beta，\ alpha \ beta，\ beta \ alpha $，最後兩個都不對稱也不對稱，因此是線性組合確保適當的對稱性。現在這四個狀態為$ \ alpha \ alpha，\ beta \ beta，\ frac {1} {\ sqrt（2）}（\ alpha \ beta \ pm \ beta \ alpha）$。

下圖中更詳細地顯示了這種排列，其中使用了自旋角動量（圓錐/箭頭）的矢量模型來說明單重態和三重態自旋態之間的差異； （$ 1 $）和（$ 2 $）用於標記電子。

由於自旋狀態的對稱性，空間狀態被確定為單線態對稱，而對於單線態則對稱。三胞胎。下圖顯示了該圖，該圖僅出於說明目的，顯示了為盒子中的粒子繪製的電子密度。在單重態中，電子聚集在一起，但在三重態中，它們被禁止通過對稱性佔據彼此相同的區域（如保利排除原理）。在某些文本中，雖然化學上似乎並不普遍，但是擁擠在一起被稱為“費米堆”，而缺少這個“費米洞”。

是，概率密度為非零。

“ 4.3加藤尖峰條件”一節中的高能原子物理學一書詳細說明了為什麼單重態如此。

（“ Kato”是Tosio Kato，他於1957年發表了一篇有關該主題的著名論文關於量子力學中多粒子系統的本徵函數 純淨與應用通信《數學》第10卷，第151-177頁。）

在第4.3.2節中，從哈密頓量中得出了一個兩個電子原子的方程。

其中$ r_1 $和$ r_2 $是電子離原子核的距離，而$ r_ {12} $是電子之間的距離：

$ \ frac {\ partial {\ Psi}} {\ partial {r_ {12}}} $（at $ r_ {12} = 0 $）$ = \ frac {m \ alpha} {2} \ Psi $

最終在“ 4.4.3沿合併線的近似波函數”（“聚結”是指兩個或多個粒子在同一點）上，當電子在同一點時，得出兩個電子原子的近似波函數：

$ \ Psi = Ne ^ {-2 \ eta R} $

其中：

“ R”是兩個電子離原子核的距離

$ \ eta = mZ \ alpha $

，對於氦氣，$ N = 1.55（m \ alpha）^ 3 $

您說得對。如果兩個電子佔據相同的位置，則在薛定ding方程的實解中排斥力將無限大。

但是在一個電子近似框架（HF，DFT）下，在同一點$ x_0 $處發現兩個電子（自旋和自旋向下）的概率不為零。

對於具有相反自旋的兩個電子，電子的運動是不相關的。這意味著在$ r_1 $和$ r_2 $處發現兩個電子的概率可以寫成

$$ P（r_1，r_2）= \ mid \ psi_1（r_1）\ mid ^ 2 \ times \ mid \ psi_2（r_2）\ mid ^ 2 $$

當$ r_1 = r_2 $，$ P（r_1，r_2）\ neq 0 $